Movimiento Armónico Simple
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno).
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un MAS oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
Propiedades del Movimiento Armónico Simple:
- Periodo T: Es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo. Es decir, el valor de x en un tiempo de t es igual al valor de x en un tiempo de t+T. Podemos demostrar que T=2π/ω con el hecho de que la fase aumenta en 2π rad en un tiempo T:
ωt+∅+2π=ω(t+T)+∅
Por lo tanto, ωT=2π, o T=2π/ω
- Frecuencia f: Representa el número de oscilaciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo
f=1/T=ω/2π.
ω=2πf=2π/T
La consstante ω recibe como nombre de Frecuencia angular y tiene las unidades de radianes por segundo. Podemos obtener la velociada de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple diferenciado a la anterior fórmula con respecto del tiempo:
v=dx/dy=-ωAsen (ωt+∅)
Velocidad en el movimiento armónico simple.
La aceleración de la partícula es:
a=dv/dt=-ω^2 A cos(ωt+∅)
Aceleración el el movimiento armónico simple.
Movimiento Armónico Simple de un Resorte
Supongamos un muelle horizontal y una partícula asociada a su extremo libre que puede moverse sobre una superficie perfectamente pulida para que no existan rozamientos que amortigüen las oscilaciones. Si separamos la partícula de la posición de equilibrio y la soltamos comenzará el MAS comprimiéndose y extendiéndose el muelle sucesivamente.
A la posición de máxima separación la llamamos amplitud (A) del movimiento.
La posición o distancia al punto de equilibrio en cada instante se denomina elongación (x), siendo el valor nulo cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.
En cualquier posición que no sea la de equilibrio, sobre la partícula actúa la fuerza que hace el muelle sobre ella. Decimos que es una fuerza recuperadora pues en cada posición esa fuerza hace tender al cuerpo hacia la posición de equilibrio. Esta fuerza recuperadora viene definida por la ley de Hooke:
F= -kx
- F es la fuerza que ejerce el muelle sobre el cuerpo.
- x es la distancia del cuerpo a la posición de equilibrio (igual al alargamiento o acortamiento del muelle).
- k es una constante que depende de la naturaleza del muelle y se denomina constante de recuperación o constante elástica.
El valor de la constante elástica nos indica si el muelle es «duro» o «blando», nos informa de su rigidez: un valor alto significa que se necesita una gran fuerza para deformar el muelle una unidad de longitud; sería un muelle duro. Un valor bajo indicaría que se necesita una fuerza pequeña para deformar al muelle, lo que podría interpretarse como un muelle blando.
Desplazamiento en MAS
El signo negativo responde al hecho de que el sentido de la fuerza recuperadora es siempre opuesto al del desplazamiento. Supogamos en la figura:
Como sentido positivo hacia la derecha (tomamos x = 0 en la posición de equilibrio). Cuando esté estirado el muelle x tomará valores positivos, pero el sentido de la fuerza recuperadora es hacia la izquierda, y por tanto será negativa. Cuando esté comprimido x será negativa, pero la fuerza se dirigirá hacia la derecha, y será positiva.
La aceleración en un MAS la podremos calcular si aplicamos la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta el valor de la suma de las fuerzas que actúen sobre la partícula y la masa m de ésta. En el caso de una partícula unida al extremo de un muelle se cumplirá:
F= -kx=ma
a=(-k/m)*x
Puesto que el periodo es T=2π/ω y la frecuencia es el inverso del periodo, podemos expresar:
T=2π/ω=2π√(m/k)
f=1/T= 1/2π √(k/m)
Es decir que el periodo y frecuencia dependen solo de la masa y de fuerza constante del resorte. Como piodríamos esperar, la frecuencia es mas grande para un resorte de mayor rigidez.
Energía del movimiento armónico simple
Las fuerzas involucradas en un MAS son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).
Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.
Movimiento Armónico Simple en un Péndulo Simple
El péndulo simple entendemos una partícula de masa m suspendida de un punto O por una cuerda de longitud L, que se puede considerar inextensible y de masa despreciable. A la partícula que oscila se le llama lenteja del péndulo.
Si desplazamos la partícula un determinado ángulo respecto a la posición de equilibrio, soltándola a continuación, la partícula se moverá en un arco de circunferencia de radio L. Tomemos como punto de referencia el punto en el que se encuentra la partícula cuando está en equilibrio. La amplitud A será igual a la mitad de la longitud del arco que describe en su movimiento (igual a la distancia, medida sobre el arco, desde el punto de equilibrio a la posición de máxima separación), y la elongación x en cada momento será la distancia, medida sobre la trayectoria, desde el punto de referencia al punto en el que se encuentra en ese momento la lenteja del péndulo.
Sobre la lenteja actúan dos fuerzas en cualquier punto de la trayectoria: la atracción de la Tierra sobre la lenteja cuyo valor es mg y la fuerza que ejerce la cuerda sobre la lenteja del péndulo que llamaremos T
La fuerza tangencial Ft produce una aceleración tangencial en la lenteja cuya rapidez cambia continuamente. Si tenemos en cuenta la relación que existe entre el ángulo expresado en radianes, el arco y el radio (x = Lθ), y que para ángulos pequeños el seno del ángulo es aproximadamente igual al valor del ángulo expresado en radianes, como la siguiente tabla:
podemos escribir:
Donde k es una constante, cociente entre el peso de la lenteja y la longitud del péndulo. El signo menos se ha puesto para indicar que el sentido de la fuerza es contrario al desplazamiento, tanto angular como lineal.
La fuerza que produce la variación de la rapidez es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio y de sentido contrario al desplazamiento, por lo que es de suponer que el movimiento del péndulo sea también un movimiento armónico simple, similar al de un cuerpo que se encuentra sujeto al extremo de un muelle. Por lo tanto, se puede describir el movimiento del péndulo con la ecuación general del MAS que permite
calcular la posición en función del tiempo:
Si el ángulo no es pequeño la aproximación no puede hacerse. Tendríamos un movimiento oscilatorio periódico pero no sería un MAS. En este caso el periodo depende de la amplitud.
El periodo de un péndulo puede calcularse con la expresión:
La independencia del periodo respecto de la amplitud, si ésta es pequeña, parece que llevó a Galileo al invento del reloj de péndulo, el primero en tener una buena precisión y que fue reloj patrón durante varios siglos. Para evitar que el péndulo se pare por los rozamientos que sufre, se utiliza un sistema de resortes que mantiene la oscilación.
Otra utilidad del péndulo ha sido la medida de la gravedad en cualquier punto de la superficie terrestre.
Velocidad en MAS en Pendulo
La velocidad (v) de un cuerpo en oscilación en cualquier instante es el componente horizontal de su velocidad tangencial (vT).
v = -2pf A sen
2pf t
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